ラグランジュ の 運動 方程式。 ラグランジュ運動方程式における外力の扱いについて

ラグランジュ方程式からハミルトンの正準方程式の導出

ラグランジュ の 運動 方程式

導入 今回は簡単のため、一次元系での運動のみを考える。 このオイラー・ラグランジュ方程式は 運動方程式と等価である。 注意点 今回は一次元系のみを考えるかなり限定的な導入だが、このオイラー・ラグランジュ方程式そのものが 保存力のみで記述できる系でしか適用できないことにも注意が必要。 このままでは、速度の関数になる力 抵抗力やローレンツ力 が存在する系では使うことができない。 もちろん、これらの力も考慮したオイラー・ラグランジュ方程式もある というかそれが本来の形である わけだが、その導出まで私の理解がまだ及んでいない。 それに関しては時間があるときに勉強しようと思うが、 今回の形のオイラー・ラグランジュ方程式でもかなり強力な武器になるため、まずはこの形を覚えておいて全く損はない。 例 前回取り上げた、2質点の連成振動を考えよう。 この系の運動方程式を、オイラー・ラグランジュ方程式を使って導く。 感動 私が初めてオイラー・ラグランジュ方程式の使い方を知ったとき、最初に覚えたのは感動だった。 恥ずかしい話、ばねの両端に質点がある問題で運動方程式を立てるときに、私は弾性力の符号を決めるのに時間がかかる。

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道具としてのラグランジュ方程式

ラグランジュ の 運動 方程式

概要 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである から導かれる。 これは、との差を与える関数を と呼び、ラグランジアンの時間積分を と呼ぶとき、物理現象は作用を最小化(厳密には極小化)するように動くことを主張する原理である。 オイラー=ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡をで求める事によって導出された方程式である。 最小作用の原理はもともとはニュートン力学(さらにさかのぼればにおける)で発見されたものだが、 、等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー=ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式(、、) と等価になる。 (ただしこれらの方程式におけるラグランジアンは前述の「(運動エネルギー)-(ポテンシャルエネルギー)」の形とは限らない)。 このように最小作用の原理からオイラー=ラグランジュ方程式に対応する式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。 ニュートン力学の場合、ラグランジアンをすることで (=エネルギーに対応する関数)が得られ、 オイラー=ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事で が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の1つである。 オイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を という。 なお、ニュートン力学以外の分野の場合、ラグランジアンからハミルトニアン(あるいはその逆)に容易に変換可能であるとは限らない。 また新たな物理学の分野を探求する際、ラグランジアンやハミルトニアンを定義できれば、 そこからオイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式に対応する方程式を定式化できることから、 この方程式は未知の領域において基礎方程式を導出する為の強力な手段となる。 一般化座標 [ ] ニュートンの方程式がを用いて運動を記述する必要があるのに対し、 オイラー=ラグランジュ方程式は任意の座標( )を用いる事ができる。 この点においてもオイラー=ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が分かる。 またラグランジアンから 一般化運動量、 一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化でき、 これらを用いると、オイラー=ラグランジュ方程式は一般化力=(一般化運動量の時間微分)という形に書ける。 ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。 計算上の重要性 [ ] 一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。 例えばの運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、 縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、 振り子の角度に着目する事で、角度という1変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。 (ここでは振り子の長さは一定であると仮定している)。 もちろんニュートン方程式で立式した後に変換すれば同一の式が得られるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。 数学における重要性 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式はという、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。 またにおける方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー=ラグランジュ方程式である。 なお測地線は相対性理論では光のを表すので、これはの近代的な定式化になっている。 方程式の詳細 [ ] 以上ではオイラー=ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明したが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、 まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。 なお、ドットは時間による微分を表す。 この式を特に ラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。 上式右辺を 一般化力と呼ぶ事にすると、上述の方程式は「一般化運動量の微分=一般化力」を意味する。 ニュートン方程式は「運動量の微分=力」であったので、オイラー=ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。 また、は速度には依らないものとする。 (変分学の基本補題、) 従って、オイラー=ラグランジュ方程式.

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道具としてのラグランジュ方程式

ラグランジュ の 運動 方程式

導入 今回は簡単のため、一次元系での運動のみを考える。 このオイラー・ラグランジュ方程式は 運動方程式と等価である。 注意点 今回は一次元系のみを考えるかなり限定的な導入だが、このオイラー・ラグランジュ方程式そのものが 保存力のみで記述できる系でしか適用できないことにも注意が必要。 このままでは、速度の関数になる力 抵抗力やローレンツ力 が存在する系では使うことができない。 もちろん、これらの力も考慮したオイラー・ラグランジュ方程式もある というかそれが本来の形である わけだが、その導出まで私の理解がまだ及んでいない。 それに関しては時間があるときに勉強しようと思うが、 今回の形のオイラー・ラグランジュ方程式でもかなり強力な武器になるため、まずはこの形を覚えておいて全く損はない。 例 前回取り上げた、2質点の連成振動を考えよう。 この系の運動方程式を、オイラー・ラグランジュ方程式を使って導く。 感動 私が初めてオイラー・ラグランジュ方程式の使い方を知ったとき、最初に覚えたのは感動だった。 恥ずかしい話、ばねの両端に質点がある問題で運動方程式を立てるときに、私は弾性力の符号を決めるのに時間がかかる。

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